Đáp án câu 5 đề 1 kiểm tra học kì II toán 8

5. Chứng minh rằng nếu là các số dương và $a + b + c = 1$ thì:

+ $\left ( b + \frac{1}{b} \right )^{2}$ + $\left ( c + \frac{1}{c} \right )^{2}$ > $33$

Bài làm:

5. Với 3 số áp dụng bất đẳng thức Cosy ta có:

+ $B^{2}$ $\geq $ $2AB$; + $C^{2}$ $\geq $ $2AC$; $C^{2}$ + $B^{2}$ $\geq $ $2CB$;

$2(A^{2} + B^{2} + C^{2})$ $\geq $ $2(AB + BC + AC)$

cộng từng vế của bất đẳng thức trên với + $B^{2}$ + $C^{2}$

$3(A^{2} + B^{2} + C^{2})$ $\geq $ $\left (A + B +C \right )^{2}$

$A^{2} + B^{2} + C^{2}$ $\geq $ $\frac{\left (A + B +C \right )^{2}}{3}$

Đặt ; $B = b + \frac{1}{b}$; $C = c + \frac{1}{c}$ và vế trái là $P$, ta có:

$\geq $ $\frac{1}{3}$$\left ( a + \frac{1}{a} + b + \frac{1}{b} + c + \frac{1}{c}\right ) ^{2}$ = $\frac{1}{3}$$\left ( a + b + c + \frac{a+b+c}{a} + \frac{a+b+c}{b} + \frac{a+b+c}{c} \right ) ^{2}$

= \left ( 1 + 1 + \frac{b}{a} +\frac{c}{a} +1 + \frac{a}{b} + \frac{c}{b} + 1 + \frac{a}{c} + \frac{b}{c} \right ) ^{2}$

Vì

với $a>0$, $b>0$ nên $P$ $\geq $ $\frac{1}{3}$$\left ( 4+6 \right )^{2}$ = $\frac{100}{3}$ > $33$