Giải câu 4 đề 16 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Bài 4: (4,0 điểm)

Cho hình chữ nhật ABCD nội tiếp đường tròn tâm O. Tiếp tuyến của đường tròn tâm O tại điểm C cắt các đường thẳng AB và AD theo thứ tự tại M, N. Dựng AH vuông góc với BD tại điểm H, K là giao điểm của hai đường thẳng MN và BD.

a. Chứng minh tứ giác AHCK là tứ giác nội tiếp.

b. Chứng minh AD.AN = AB.AM.

c. Gọi E là trung điểm của MN. Chứng minh ba điểm A, H, E thẳng hàng.

d. Cho AB = 6cm, AD = 8cm. Tính độ dài đoạn MN.

Bài làm:

Hình vẽ:

a. Xét tứ giác AHCK ta có:

Mà hai đỉnh H,CH,C kề nhau cùng nhìn cạnh AK dưới góc

⇒AHCK là tứ giác nội tiếp. (dhnb)

b. Chứng minh AD.AN = AB.AM.

Ta có: (hai góc đồng vị)

là góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung chắn cung CD.

là góc nội tiếp chắn cung AB.

Mà cung AB bằng cung CD do ABCD là hình chữ nhật.

Xét và $\Delta ANM$ ta có:

chung

c. Ta có E là trung điểm của MN(gt) ⇒ AE = ME = EN tính chất đường trung tuyến ứng với cạnh huyền).

(góc ngoài của tam giác)

Vì (hai góc tương ứng)

Vì ABCD là hình chữ nhật (hai góc so le trong)

Xét cân tại O ta có: $\widehat{DOC}+\widehat{OCD}+\widehat{ODC}=180^{0}$

Từ (1) và (2) => (cmt)

Xét tứ giác OHEC ta có:

⇒OHEC là tứ giác nội tiếp (tổng hai góc đối diện có tổng bằng ).

Mà => A, H, E thẳng hàng.

d. Áp dụng định lý Pi-ta-go cho tam giác ABC vuông tại A ta có:

Vì

Xét tam giác và $\Delta CMB$ ta có:

(góc tạo bởi tia tiếp tuyến và dây cung và góc nội tiếp cùng chắn cung BC).

(cm)

(cm)

(cm)

Vậy (cm)