Giải câu 2 trang 24 toán VNEN 9 tập 1

Câu 2: Trang 29 sách VNEN 9 tập 1

Chứng minh các bất đẳng thức sau:

a) Cho a > 0 chứng minh rằng a + $\geq $ 2.

b) $\geq $ 2 với mọi a.

c) - $\sqrt{a}$ < $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ với a $\geq $ 1.

Bài làm:

a) Với a > 0, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

a + $\geq $ 2.$\sqrt{a.\frac{1}{a}}$ = 2

Dấu = xảy ra khi a = $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ = 1 $\Leftrightarrow $ a = 1 (vì a > 0)

b) Ta có:

= $\frac{a^{2} + a + 1 + 1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ = $\sqrt{a^{2} + a + 1}$ + $\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$

Ta có: + a + 1 = (a + $\frac{}{}$ $(a + \frac{1}{4})^{2}$ + $\frac{3}{4}$ > 0 với mọi a

Áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

+ $\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ $\geq $ 2.$\sqrt{\sqrt{a^{2} + a + 1}.\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}}$ = 2

Dấu = xảy ra khi = $\frac{1}{\sqrt{a^{2} + a + 1}}$ $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ + a + 1 = 1 $\Leftrightarrow $ $a^{2}$ + a = 0 $\Leftrightarrow $ a = 0 hoặc a = - 1

Vậy $\geq $ 2 với mọi a.

c) Chứng minh - $\sqrt{a}$ < $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ tức là ta chứng minh < $\frac{1}{2\sqrt{a}}$ + $\sqrt{a}$

Với a 1, áp dụng bất đẳng thức Cô-si ta có:

+ $\sqrt{a}$ $\geq $.