Giải Câu 4 Bài 4: Hai mặt phẳng vuông góc

Câu 4: Trang 114 - SGK Hình học 11

Cho hai mặt phẳng , \((\beta)\) cắt nhau và một điểm \(M\) không thuộc và không thuộc \((\beta)\). Chứng minh rằng qua điểm \(M\) có một và chỉ một mặt phẳng \((P)\) vuông góc với và \((\beta)\). Nếu song song với \((\beta)\) thì kết quả trên sẽ thay đổi như thế nào?

Bài làm:

Điều kiện cần: Qua có một mặt phẳng $(P)$ vuông góc với và \((\beta)\)

Gọi . Gọi \((P)\) là mặt phẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \(a\).

Vì nên \((P)\bot (\alpha)\), \(a\subset (\beta)\) nên \((P)\bot(\beta)\) (Tính chất: mặt phẳng vuông góc với giao tuyến của hai mặt phẳng thì vuông góc với từng mặt phẳng)

Như vậy qua có mặt phẳng \((P)\) vuông góc với \((\alpha)\) và \((\beta)\).

Điều kiện đủ: Mặt phẳng là duy nhất.

Nếu có đi qua \(M\) và vuông góc với \((\alpha)\) và \((\beta)\) thì \((P)\bot a\). Do tính duy nhất của mặt phẳng đi qua một điểm và vuông góc với một đường thẳng cho trước nên duy nhất.

Nếu thì: gọi \(d\) là đường thẳng đi qua \(M\) và vuông góc với \((\alpha)\) khi đó ta có \(d\bot (\beta)\). Như vậy mọi mặt phẳng chứa \(d\) đều vuông góc với \((\alpha)\) và \((\beta)\).

Do đó khi thì có vô số mặt phẳng \((P)\) đi qua \(M\) và vuông góc với \((\alpha)\) và \((\beta)\).