Giải câu 8 đề 1 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Bài 8. (3,0 điểm)

Cho tam giác nhọn ABC (AB<AC) nội tiếp đường tròn (O). Hai đường cao BD và CE của tam giác ABC cắt nhau tại H. Đường thắng AH cắt BC và (O) lần lượt tại F và K (K # A).

Gọi L là hình chiếu của D lên AB.

a. Chứng minh rằng tứ giác BEDC nội tiếp và

b. Gọi J là giao điểm của KD và (O), (J # K). Chứng minh BJK = BDE

c. Gọi I là giao điểm của BJ và ED. Chứng minh tứ giác ALIJ nội tiếp và I là trung điểm của ED.

Bài làm:

a. Xét tứ giác BEDC có:

Suy ra nên tứ giác BEDC có hai đỉnh E, D kề nhau cùng nhìn cạnh BC dưới các góc vuông, do đó tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp.

b. Xét tam giác ABC có hai đường cao BD và CE cắt nhau tại H nên H là trực tâm tam giác ABC hay ó

Xét tam giác EBC vuông tại E có (1)

Xét tam giác AFB vuông tại F có (2)

Từ (1) và (2) suy ra (3) (cùng phụ với $\angle ABF$)

Mà theo câu a ta có tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp nên (4)

Từ (3) và (4) suy ra (*)

Xét đường tròn (O) có (**) (hai góc nội tieeos cùng chắn cung BK)

Từ (*) và (**) ta suy ra (đpcm)

c.

Xét tam giác BDJ và tam giác BID có:

(cmt)

chung

Lại có (cmt)

Xét tam giác BLI và tam giác BJA có:

(cmt)

chung

=>

(hai góc tương ứng)

=> Tứ giác ALIJ là tứ giác nội tiếp (tứ giác có góc goài bằng hóc trong tại đỉnh đối diện.

Tứ giác BEDC là tứ giác nội tiếp (cmt) (6)

Từ (5) và (6) hay $\angle ELI=\angle LEI\Rightarrow \Delta ILD$ cân tại I => IL = ID.

Ta có:

cân tại I => IL = ID

Vậy IE = ID => I là trung điểm của ED (dpcm)