Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm phân thức đồng biến trên từng khoảng xác định

Phần tham khảo mở rộng

Dạng 1: Tìm điều kiện của tham số để hàm phân thức đồng biến trên từng khoảng xác định

Bài làm:

I. Phương pháp giải:

Ta có

Hàm số đồng biến trên từng khoảng xác định khi và chỉ khi với mọi $x$ thuộc tập xác định.

Điều này tương đương với

Chú ý: Bài toán trên không được phép bằng $0$. Vì khi đó, $ad-bc=0$ dẫn đến hàm số không đổi trên từng khoảng xác định.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Tìm tất cả các giá thực của sao cho hàm số $y=\frac{m-x}{x+1}$ đồng biến trên khoảng xác định.

Bài giải:

Ta có .

Áp dụng lý thuyết trên, ta có điều kiện đối với m là: tương đương $ m

Bài tập 2: Cho hàm số , với $m$ là tham số. Gọi S là tập hợp tất cả các giá trị nguyên của m để hàm số nghịch biến trên các khoảng xác định. Tìm số phần tử của S.

Bài giải:

Ta có .

Áp dụng lý thuyết trên, ta có điều kiện đối với m là: tương đương 0 < m < 4.

Vì m nguyên nên các giá trị của m là: 1; 2; 3. Vậy số phần tử của S bằng 3.

Bài tập 3: Tìm tất cả các giá thực của sao cho hàm số $y=\frac{x+m}{m-x}$ đồng biến trên khoảng $(1;3)$.

Bài giải:

Ta viết lại .

Ta có .

Hàm số trên đồng biến trên khoảng khi và chỉ khi hàm số xác định trên khoảng và đồng biến trên từng khoảng xác định.

Nghĩa là:

.