Giải bài 2: Cực trị của hàm số

  • 1 Đánh giá

Đây là nội dung khá quan trọng trong chương này, học sinh thường rất hay nhầm lẫn giữa khái niệm cực đại, cực tiểu với khái niệm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số.

A. Lí thuyết

I. Khái niệm cực đại, cực tiểu

Định nghĩa: Cho hàm số y=f(x) xác định và liên tục trên khoảng (a,b) (có thể a là , b là $+\infty$) và điểm $x_{0} \in (a,b)$

  • Nếu tồn tại số h>0 sao cho với mọi $x \in (x_{0}-h, x_{0}+h)$ và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực đại tại $x_{0}$.
  • Nếu tồn tại số h>0 sao cho với mọi $x \in (x_{0}-h, x_{0}+h)$ và $x \neq x_{0}$ thì ta nói hàm số f(x) đạt cực tiểu tại $x_{0}$.

Chú ý:

1. Nếu hàm số f(x) đạt cực đại (cực tiểu) tại thì

  • được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của hàm số
  • được gọi là giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) của hàm số.
  • được gọi là điểm cực đại (điểm cực tiểu) của đồ thị hàm số.

2. Các điểm cực đại và cực tiểu được gọi chung là điểm cực trị. Giá trị cực đại (giá trị cực tiểu) còn gọi là cực đại (cực tiểu) được gọi chung là cực trị của hàm số.

3. Nếu y=f(x) có đạo hàm trên khoảng (a,b) và đạt cực đại hoặc cực tiểu tại thì $f'(x_{0})=0$.

II. Điều kiện đủ để hàm số có cực trị

III. Quy tắc tìm cực trị

Cách 1:

  • Bước 1: Tìm tập xác định.
  • Bước 2: Tính f'(x). Tìm các điểm tại đó hoặc $f'(x)$ không xác định.
  • Bước 3: Lập bảng biến thiên.
  • Bước 4: Từ bảng biến thiên suy ra các điểm cực trị.

Cách 2:

  • Bước 1: Tìm tập xác định.
  • Bước 2: Tính . Giải phương trình $f'(x)=0$ và kí hiệu $x_{i}$ (i=1,2,...,n) là các nghiệm của nó.
  • Bước 3: Tính và $f''(x_{i})$.
  • Bước 4: Dựa vào dấu của suy ra tính cực trị của điểm $x_{i}$

Cụ thể thì $x_{i}$ là điểm cực tiểu và $f''(x_{i})

Ví dụ: Tìm cực trị của hàm số

Giải: TXĐ:

Ta có

Cách 1:

Bảng biến thiên

Vậy hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại và $x=2$ ; $f_{CT}=f(\pm 2)=2$.

Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại và $f_{CĐ}=f(0)=6$.

Cách 2: Ta có

nên x=-2 và x=2 là hai điểm cực tiểu.

nên x=0 là điểm cực đại.

Vậy hàm số y=f(x) đạt cực tiểu tại và $x=2$ ; $f_{CT}=f(\pm 2)=2$.

Hàm số y=f(x) đạt cực đại tại và $f_{CĐ}=f(0)=6$.

Chú ý: Hàm số đạt cực đại tại x=0 và tuy nhiên hàm số không có GTLN.

B. BÀI TẬP VÀ HƯỚNG DẪN GIẢI

Bài 1: Trang 18 - sgk giải tích 12

Áp dụng Quy tắc I, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau

a) .

b) .

c) .

d) .

e)

=> Xem hướng dẫn giải

Bài 2: Trang 18 - sgk giải tích 12

Áp dụng quy tắc II, hãy tìm các điểm cực trị của các hàm số sau

a) ;

b) ;

c) ;

d) .

=> Xem hướng dẫn giải

Bài 3: Trang 18 - sgk giải tích 12

Chứng minh rằng hàm số không có đạo hàm tại x=0 nhưng vẫn đạt cực tiểu tại điểm đó.

=> Xem hướng dẫn giải

Bài 4: Trang 18 - sgk giải tích 12

Chứng minh rằng với mọi giá trị của tham số m, hàm số luôn luôn có một điểm cực đại và một điểm cực tiểu.

=> Xem hướng dẫn giải

Bài 5: Trang 18 - sgk giải tích 12

Tìm a và b để các cực trị của hàm số đều là những số dương và $x_{0}=-\frac{5}{9}$ là điểm cực đại.

=> Xem hướng dẫn giải

Bài 6: Trang 18 - sgk giải tích 12

Xác định giá trị của tham số m để hàm số đạt cực đại tại $x=2$.

=> Xem hướng dẫn giải

Phần tham khảo mở rộng

Dạng 1: Xác định điểm cực đại ( ), điểm cực tiểu ( $x_{CT}$), giá trị cực đại ($y_{CD}$), giá trị cực tiểu ($y_{CT}$) của hàm số.

=> Xem hướng dẫn giải

Dạng 2: Cho hàm số (m là tham số thực). Giả sử hàm số có đạo hàm tại $x_{0}$. Tìm tất cả những giá trị thực của m để hàm số đạt cực trị (cực tiểu, cực đại) tại x = $x_{0}$.

=> Xem hướng dẫn giải

Dạng 3: Cho hàm số . Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số thoả mãn một điều kiện nào đó về số lượng của các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).

=> Xem hướng dẫn giải

Dạng 4: Cho hàm số . Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}$ và $x_{2}$ thoả mãn một điều kiện nào đó.

=> Xem hướng dẫn giải

Dạng 5: Cho hàm số (C). Giả sử hàm số có hai điểm cực trị, gọi d là đường thẳng đi qua các điểm cực trị của (C). Ta xét một số câu hỏi liên quan đến đường thẳng d, chẳng hạn:

  • Nhận dạng đường thẳng nào là đường thẳng d;
  • Tìm điểm thuộc đường thẳng d.

=> Xem hướng dẫn giải

Dạng 6: Cho hàm số . Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số thỏa mãn một điều kiện nào đó về số lượng các điểm cực trị (cực đại, cực tiểu).

=> Xem hướng dẫn giải

=> Câu hỏi và bài tập trắc nghiệm toán 12 bài 2: Cực trị của hàm số


  • 33 lượt xem