Giải Câu 3 Bài Ôn tập cuối năm

Câu 3: Trang 125 - SGK Hình học 11

Cho hình chóp có đáy \(ABCD\) là hình thang với \(AB\) là đáy lớn. Gọi \(M\) là trung điểm của đoạn \(AB\), \(E\) là giao điểm của hai cạnh của hình thang \(ABCD\) và \(G\) là trọng tâm của tam giác \(ECD\).

a) Chứng minh rằng bốn điểm cùng thuộc một mặt phẳng \((α)\) và mặt phẳng này cắt cả hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SBD)\) theo cùng một giao tuyến \(d\).

b) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng và \((SBC)\).

c) Lấy một điểm trên đoạn \(SE\) và gọi \(C'= SC ∩KB, D'=SD ∩ KA\). Chứng minh rằng hai giao điểm của \(AC'\) và \(BD'\) thuộc đường thẳng \(d\) nói trên.

Bài làm:

a)

• Gọi là giao điểm của \(AC\) và \(DB\); \(N\) là giao của \(EM\) và \(DC\).

là trung điểm của \(AB\) => \(N\) là trung điểm của \(DC\) (vì \(ABCD\) là hình thang),

=> là trung tuyến tròn tam giác

mà là trọng tâm $\Delta ECD$

=> đi qua $G$ => $G \in EN$ mà $E,N,M$ thẳng hàng

nên ba điểm thẳng hàng

Gọi là mặt phẳng \((SEM)\)

Vậy 4 điểm cùng thuộc mặt phẳng $(\alpha )$.

• \(\Rightarrow O\in(\alpha)\) và \(O \in AC \subset (SAC)\) nên \(O\) là giao điểm của hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((SAC)\)

là giao tuyến của \((\alpha)\) và \((SAC)\). (1)

• Tương tự ta có: \(\Rightarrow O\in(\alpha)\) và \(O \in BD \subset (SBD)\) nên \(O\) là giao điểm của hai mặt phẳng \((\alpha)\) và \((SBD)\)

là giao tuyến của \((\alpha)\) và \((SBD)\). (2)

Từ (1) (2) suy ra cắt hai mặt phẳng $(SAC)$ và $(SBD)$ theo cùng một giao tuyến $d\equiv SO$

b)

Vậy là một điểm chung của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\)

là điểm chung thứ hai của hai mặt phẳng \((SAD)\) và \((SBC)\)

=> là giao tuyến của \((SAD)\) và \((SBC)\)

c)

Tương tự ta có:

Mà hai đường thẳng và \(BD’\) cùng thuộc mặt phẳng \((ABK)\) và giao nhau tại điểm

=>

là điểm chung của hai mặt phẳng \((SAC)\) và \((SDB)\) hay \(M ∈ d\)