Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức

Phần tham khảo mở rộng

Dạng 1: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của số phức

Bài làm:

I. Phương pháp giải:

Chú ý công thức ||z₁| – |z₂|| ≤ |z₁ + z₂| ≤ |z₁ – z₂|.

II. Bài tập áp dụng

Bài tập 1: Cho số phức thoả mãn $|z-3-4i|=\sqrt{5}.$ Gọi M và m lần lượt là giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức $P=|z+2|^2-|z-i|^2.$ Tìm môđun của số phức $w= M+mi$.

Bài giải:

Ta có

Tính toán ta được Xét đường thẳng $d: 4x+2y+3-P=0.$

Đường thẳng d và đường tròn (C) có điểm chung khi và chỉ khi

Vậy ; $m=13.$ Khi đó $w=33+13i$ nên $|w|=\sqrt{1248}.$

Bài tập 2: Cho số phức thoả mãn $|z^2-2z+5|=|(z-1+2i)(z+3i-1)|$. Tính $\min |w|$ với số phức $w=z-2+2i.$

Bài giải:

Ta có

Khi đó, giả thiết

TH1: Với z=1-2i, ta có w=z-2+2i=-1. Vậy .

TH2: Với (*), đặt z=x+yi, ta có

Do đó

Vậy

Bài tập 3: Cho số phức thoả mãn $|z|=1.$ Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

.

Bài giải:

Gọi

Và . Ta có $|z|=1 \Rightarrow |x+yi|=1 \Leftrightarrow x^2+y^2=1.$

thuộc đường tròn đường kính AB.

Khi đó, theo Bunhiacopxki, ta có

.

Vậy

Bài tập 4: Trong các số phức thoả mãn điều kiện $|z-2-4i|=\sqrt{5}.$ Tìm Max $|z|$; $\min |z|$.

Bài giải:

Vì nên tập hợp các điểm $M(z)$ là đường tròn $(C)$ có tâm $I(2;4)$ và bán kính $R=\sqrt{5}.$

Vậy

Bài tập 5: Trong các số phức thoả mãn điều kiện $|z-5i|\leq 3.$ Tìm số phức có môđun nhỏ nhất.

Bài giải:

Tập hợp các điểm là hình tròn $(C)$ tâm $I(0;5)$ và bán kính R=3.

Vậy số phức z có môđun nhỏ nhất là