Giải Câu 64 Bài 8: Đường tròn ngoại tiếp. Đường tròn nội tiếp

Câu 64: Trang 92 - SGK Toán 9 tập 2

Trên đường tròn bán kính lần lượt đặt theo cùng một chiều, kể từ điểm \(A\), ba cung \(\overparen{AB}\), \(\overparen{BC}\), \(\overparen{CD}\) sao cho: \(sđ\overparen{AB}\)=\(60^0\), \(sđ\overparen{BC}\)=\(90^0\), \(sđ\overparen{CD}\)=\(120^0\)

a) Tứ giác là hình gì?

b) Chứng minh hai đường chéo của tứ giác vuông góc với nhau.

c) Tính độ dài các cạnh của tứ giác theo \(R\).

Bài làm:

a) (góc nội tiếp chắn \(\overparen{BCD}\)) (1)

( góc nội tiếp chắn\(\overparen{ABC}\) ) (2)

Từ (1) và (2) có:

(3)

Mà và \(\widehat {A{\rm{D}}C}\) là hai góc trong cùng phía tạo bởi cát tuyến \(AD\) và hai đường thẳng \(AB, CD\).

=> . Do đó tứ giác \(ABCD\) là hình thang.

Mà nội tiếp hình tròn nên là hình thang cân.

Vậy là hình thang cân.

( và \(sđ\overparen{BC}\)=\(sđ\overparen{AD}\)=\(90^0\))

b) Gọi là giao của hai đường chéo và \(BD\).

là góc có đỉnh nằm trong đường tròn, chắn cung CD và cung AB, nên:

=\(\frac{sđ\overparen{AB}+sđ\overparen{CD}}{2}\)=\({{{{60}^0} +{{120}^0}} \over 2} = {90^0}\)

Vậy

c)

Vì = \(60^0\) nên \(\widehat {AOB} = {60^0}\) (góc ở tâm)

Lại có: cân tại $O$ (vì $OA=OB=R$)

đều => \(AB = R\)

Ta có: cân tại $O$ (vì $OC=OD=R$)

lại có: = \(90^0\) => \(\widehat {COD} = {90^0}\) => vuông cân tại O

=>

Vì là hình thang cân nên $AD=BC=R.\sqrt2$

Ta có: = \(120^0\) => \(\widehat {COD} = {120^0}\)

Từ kẻ $OH\perp CD,H\in CD$ =>

Trong vuông tại $H$ có:

Vậy các cạnh của tứ giác có độ dài: $BC=AD=R.\sqrt{2};AB=R;CD=R.\sqrt{3}$