Tìm điều kiện của tham số để hàm số có hai cực trị thoả mãn điều kiện nào đấy.

Dạng 4: Cho hàm số . Tìm tất cả những giá trị thực của tham số sao cho hàm số có hai điểm cực trị $x_{1}$ và $x_{2}$ thoả mãn một điều kiện nào đó.

Bài làm:

I. Phương pháp giải

Ta giải bài toán theo hai bước:

• Bước 1: Tìm điều kiện để hàm số có hai cực trị;
• Bước 2: Đưa điều kiện đối với và $x_{2}$ về điều kiện với tham số. Ở bước này ta thường sử dụng định lí Vi-ét ( và $x_{2}$ là các nghiệm của $y^{'}$).

II.Bài tập vận dụng

Bài tập 1: Cho hàm số , với m là tham số. Xác định m để hàm số đã cho đạt cực trị tại $x_{1}$, $x_{2}$ sao cho | $x_{1}$ - $x_{2}$| $\leq $ 2.

Bài giải:

Ta có .

+) Hàm số đạt cực đại, cực tiểu tại , $x_{2}$ $\Leftrightarrow y^{'} = 3x^{2} - 6(m + 1)x + 9$ có hai nghiệm phân biệt , $x_{2}$.

$\bigtriangleup ^{'} = 9.((m + 1)^{2} - 3 )> 0 $ $\Leftrightarrow m > -1 + \sqrt{3}$ hoặc $m < -1 - \sqrt{3}$ (1).

+) Theo định lí Vi-ét ta có: + $x_{2}$ = 2(m + 1); .$x_{2}$ = 3. Khi đó:

| - $x_{2}$| $\leq $ 2 $\Leftrightarrow$ $(x_{1} + x_{2})^{2}$ - 4.$x_{2}$ $\leq 4$.

.

.

(2).

Từ (1) và (2) ta có: và $-1 + \sqrt{3}< m\leq 1$.

Bài tập 2: Cho hàm số ,với m là tham số thực. Xác định m để hàm số đạt cực trị tại $x_{1}, x_{2}$ sao cho $x_{1} + 2x_{2} = 1$.

Bài giải:

Ta có:

Hàm số có cực đại và cực tiểu $y^{'} = x^{2} - 2(m -1)x + 3(m -2)$ có hai nghiệm phân biệt $x_{1}$, $x_{2}$.

$\bigtriangleup ^{'} = m^{2} - 5m + 7 > 0$ (đúng với mọi m).

Khi đó ta có:

.

$m = \frac{-19 +\sqrt{73}}{16}$ hoặc $m = \frac{-19 -\sqrt{73}}{16}$.