Giải câu 5 đề 12 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Bài 5: (2,0 điểm)

Cho phương trình bậc hai: $x^{2} – mx + m – 1 = 0$ . Tìm m để phương trình có hai nghiệm $x_{1} ; x_{2}$ sao cho biểu thức sau đạt giá trị lớn nhất

$P=\frac{2x_{1}x_{2}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2(1+x_{1}x_{2})}$

Tìm giá trị lớn nhất đó

Bài làm:

$x^{2} – mx + m – 1 = 0$

$Δ = m^{2} - 4(m - 1) = m^{2} - 4m + 4 = (m - 2)^{2} > 0 ∀m$

Vậy phương trình luôn có 2 nghiệm $x_{1}; x_{2}$ với mọi m

Theo định lí Vi-et, ta có:

$\left\{\begin{matrix}x_{1}+x_{2}=m& & \\ x_{1}x_{2}= m -1& & \end{matrix}\right.$

$P=\frac{2x_{1}x_{2}+3}{x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+2(1+x_{1}x_{2})}$

$=\frac{2x_{1}x_{2}+3}{(x_{1}+x_{2})^{2}+2}=\frac{2(m-1)+3}{m^{2}+2}$

$=\frac{2m+1}{m^{2}+2}=\frac{m^{2}+2-(m^{2}-2m+1)}{m^{2}+2}=1-\frac{(m-1)^{2}}{m^{2}+2}$

Ta có: $(m - 1)^{2} \geq 0 ∀m$

$\Rightarrow 1-\frac{(m-1)^{2}}{m^{2}+2}$ => 1 hay R => 1

Dấu bằng xảy ra khi m – 1 = 0 ⇔ m = 1

Vậy GTLN của R là 1 đạt được khi m = 1

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác