Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 2 năm 2017 của trường THPT chuyên Sư Phạm Hà Nội

Bài làm:

Lời giải bài 4 :

Đề bài :

Cho tam giác nhọn ABC có AB < AC và nội tiếp đường tròn (O) .Các đường cao BB' , CC' cắt nhau tại điểm H .Gọi M là trung điểm của BC .Tia MH cắt (O) tại điểm P .

a. Chứng minh rằng hai tam giác BPC' và CPB' đồng dạng .

b. Cho đường phân giác của các góc lần lượt cắt AB , AC tại các điểm E , F .Gọi O' là tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác AEF , K là giao điểm của HM và AO' .

• Chứng minh tứ giác PEKF nội tiếp .
• Chứng minh các tiếp tuyến tại E và F của ( O' ) cắt nhau tại một điểm nằm trên ( O ) .

Hướng dẫn giải chi tiết :

a. Ta có : AO cắt (O ) tại D => AD là đường kính của (O) .

=>

=> BD // CH ; CD // BH .

=> Tứ giác HDCB là hình bình hành .

=> DH cắt BC tại trung điểm cạnh BC và cũng là trung điểm cạnh DH .

=> D , M , H , P thẳng hàng .

=>

=> P thuộc đường tròn đường kính AH .

Mà :

=> B' , C' thuộc đường tròn đường kính AH .

=> A , P , B' , C' ,H cùng thuộc đường tròn đường kính AH .

=>

=> (1)

Xét ( O) , ta có : ( do cùng chắn cung AP ) (2)

Từ (1), (2) => ( g - g ) ( đpcm ) .

b. Kẻ PE , PF lần lượt là phân giác của BPC' và CPB' .

=>

Do => $\widehat{BPC'}=\widehat{CPB'}$

=>

Xét và $\triangle PFB'$ có :

=> ( g - g ) .

=>

=> Tứ giác APEF nội tiếp ( đpcm ) .

Vì O' là tâm đường tròn ngoại tiếp

=> O' cũng là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác APEF .

Gọi K' là giao của AO' và ( O' ) => AK' là đường kính .

=> (*)

Mà (**)

Từ (*), (**) => .

=> K là giao của PD và AO' .

=> K là giao của MH và AO' .

=> .

=> Tứ giác PEKF nội tiếp . ( đpcm )