Giải câu 5 đề 3 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Bài 5: (3,5 điểm)

Cho nửa đường tròn tâm O, đường kính AB = 2R. C là điểm nằm bất kì trên đường tròn sao cho C ≠A,B và AC < CB. D thuộc cung nhỏ BC sao cho ∠DOC = 90o. E là giao điểm của AD và BC; F là giao điểm của AC và BD

a. Chứng minh rằng tứ giác CEDF là tứ giác nội tiếp

b. Chứng minh rằng FC. FA = FD. FB

c. I là trung điểm của EF. Chứng minh rằng IC là tiếp tuyến của (O)

d. Khi C thay đổi thỏa mãn điều kiện của bài toán thì I thuộc đường tròn cố định nào?

Bài làm:

a. ∠ACB = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FCE =

∠ADB = (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)=>∠FDE =

Xét tứ giác CEDF có:

∠FCE =

∠FDE =

=> ∠FCE + ∠FDE =

=> Tứ giác CEDF là tứ giác nội tiếp

b. Xét ΔAFD và ΔBFC có:

∠AFB là góc chung

∠ADF = ∠BCF =

=> ΔAFD ∼ ΔBFC

=> => FA.FC = FB.FD

c. Do ∠FCE = 90oNên FE là đường kính đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF

Do đó trung điểm I của FE là tâm đường tròn ngoại tiếp tứ giác CEDF

Tam giác CFI có IC = IF => ΔCFI cân tại I

=> CFI = ∠FCI

Tứ giác CEDF nội tiếp =>∠CFI = CDE (2 góc nội tiếp cùng chắn )

Tứ giác ACDB nội tiếp =>∠CDE = ∠CBA(2 góc nội tiếp cùng chắn )

ΔAOB cân tại O =>∠BCO = ∠CBA

=> ∠FCI = ∠BCO

=> ∠FCI + ∠ECI = ∠BCO + ∠ECI <=> ∠FCE = ∠ICO

=> ∠ICO =

Vậy IC là tiếp tuyến của (O)

d. Chứng minh tương tự câu c, ta có ∠IDO =

Xét tứ giác ICOD có:

∠ICO = ∠IDO = ∠COD =

=> Tứ giác ICOD là hình chữ nhật

Lại có OC = OD = R

=> Tứ giác ICOD là hình vuông.

Có OI là đường chéo hình vuông cạnh R

=> OI = R√2

O cố định, do đó I thuộc đường tròn tâm O, bán kính R√2 cố định