Lời giải Bài 4 Đề thi thử lên lớp 10 môn toán lần 1 năm 2017 của trường THPT chuyên TP HCM

Bài làm:

Đề bài :

a. Cho x , y là 2 số thực khác 0 . Chứng minh rằng : $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ (1)

b. Cho a , b là 2 số dương .Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức: $P=\frac{a^{2}+3ab+b^{2}}{\sqrt{ab}(a+b)}$

Hướng dẫn giải chi tiết :

a. Từ (1) <=> $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}-\frac{x}{y}-\frac{y}{x}\geq 0$

<=> $\frac{x^{4}+y^{4}-x^{3}y-xy^{3}}{x^{2}y^{2}}\geq 0$

<=> $\frac{(x-y)(x^{3}-y^{3})}{x^{2}y^{2}}\geq 0$

<=> $\frac{(x-y)^{2}(x^{2}+xy+y^{2})}{x^{2}y^{2}}\geq 0$

<=> $\frac{(x-y)^{2}\left [ (x+\frac{1}{2}y)^{2}+\frac{3}{4}y^{2} \right ]}{x^{2}y^{2}}\geq 0$ ( luôn đúng $\forall x,y\neq 0$ )

Vậy $\frac{x^{2}}{y^{2}}+\frac{y^{2}}{x^{2}}\geq \frac{x}{y}+\frac{y}{x}$ .

b. Ta có : $P=\frac{a^{2}+3ab+b^{2}}{\sqrt{ab}(a+b)}$ = $\frac{(a+b)^{2}+ab}{\sqrt{ab}(a+b)}$

<=> $P=\frac{\frac{1}{4}(a+b)^{2}+ab+\frac{3}{4}(a+b)^{2}}{\sqrt{ab}(a+b)}$

<=> $P=\frac{\frac{1}{4}(a+b)^{2}+ab}{\sqrt{ab}(a+b)}+\frac{\frac{3}{4}(a+b)^{2}}{\sqrt{ab}(a+b)}$ (*)

Ta thấy : (*) $\geq \frac{2\sqrt{\frac{1}{4}(a+b)^{2}.ab}}{\sqrt{ab}(a+b)}+\frac{\frac{3}{4}.2\sqrt{ab}}{\sqrt{ab}}=1+\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$

Dấu " = " xảy ra <=> $\left\{\begin{matrix}\frac{1}{4}(a+b)^{2}=ab & \\ a=b & \end{matrix}\right .<=> a = b$

Vậy Min P = $\frac{5}{2}$ <=> a = b .

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác