Đáp án câu 5 đề 10 kiểm tra học kì 2 Toán 9

1 Đánh giá

Câu 5(1 điểm): Cho a, b là hai số thực dương thỏa mãn a + b $\leq$ 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức S = $\frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{25}{ab}$ + ab.

Bài làm:

Áp dụng bất đẳng thức $(a + b)^{2} \geq 4ab \Leftrightarrow \frac{a + b}{ab} \geq \frac{4}{a + b} \Leftrightarrow \frac{1}{a} + \frac{1}{b} \geq \frac{4}{a + b}$

Ta có:

S = $\frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{25}{ab}$ + ab

$\Leftrightarrow S = \frac{1}{a^{2} + b^{2}} + \frac{1}{2ab} + \frac{49}{2ab}$ + ab.

$\Rightarrow S \geq \frac{4}{a^{2} + b^{2} + 2ab} + \frac{49}{2ab} + ab$

$\Leftrightarrow S \geq \frac{4}{(a + b)^{2}} + \frac{17}{2ab} + \frac{16}{ab} + ab$

+, $\frac{16}{ab} + ab \geq 2.\sqrt{\frac{16}{ab}.ab} = 8$

+, $\frac{4}{(a + b)^{2}} \geq \frac{4}{4^{2}} = \frac{1}{4}$ (do a + b $\leq $ 4)

+, $ab \leq \frac{(a + b)^{2}}{4} \leq 4$ $\Rightarrow \frac{17}{2ab} \geq \frac{17}{2.4}$

Do đó ta có S $\geq \frac{1}{4} + \frac{17}{2.4} + 8$

$\Leftrightarrow S \geq \frac{83}{8}$

Dấu "=" xảy ra khi $\left\{\begin{matrix}a + b = 4\\ a = b\\ a.b = 4\end{matrix}\right. \Leftrightarrow a = b = 2$

Vậy Min S = $\frac{83}{8}$ khi a = b = 2.

5 lượt xem

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Toán 9 tập 2