Giải câu 12 bài ôn tập chương 4: Bất đẳng thức, bất phương trình sgk Đại số 10 trang 107

1 Đánh giá

Câu 12: trang 107 sgk Đại số 10

Cho $a, b, c$ là độ dài ba cạnh của một tam giác. Sử dụng định lí về dấu của tam thức bậc hai , chứng minh rằng: $b^2x^2-(b^2 + c^2-a^2)x + c^2> 0,\forall x$

Bài làm:

Đặt $f(x)=b^2x^2-(b^2 + c^2-a^2)x + c^2$

${\Delta = {{\left( {{b^2} + {c^2}-{a^2}} \right)}^2}-4{b^2}{c^2}}$

${ = \left( {{b^2} + {c^2}-{a^{2}} + 2bc} \right)\left( {{b^2} + {c^2}-{a^2} - 2bc} \right)}$

${ = \left[ {{{\left( {b + c} \right)}^2}-{a^2}} \right]\left[ {{{\left( {b - c} \right)}^2}-{a^2}} \right]}$

$=(b+c+a)(b+c-a)(b-c-a)(b-c+a)< 0$

Vì trong một tam giác tổng của hai cạnh lớn hơn cạnh thứ ba

Nên $b+a+c>0,b+c - a>0, b-c+a>0, b - c - a<0$

Do đó $f(x)$ cùng dấu với $b^2>0, ∀x$.

Hay ${b^2}{x^{2}}-({b^2} + {c^2}-{a^2})x + {c^2} > 0,\forall x$

9 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Giải bài tập Đại số lớp 10 chi tiết, dễ hiểu