Giải câu 5 bài 1: Bất đẳng thức sgk Đại số 10 trang 79

Câu 5: trang 79 sgk Đại số 10

Chứng minh rằng:

$x^4-\sqrt{x^5}+x-\sqrt x+1>0, \forall x \geq 0$

Hướng dẫn: Đặt $\sqrt{x}=t$ , xét hai trường hợp $0\leq x < 1; x \geq 1.$

Bài làm:

Đặt $\sqrt x = t, x ≥ 0 \Rightarrow t ≥ 0$ .

Vế trái trở thành: ${t^8} - {t^5} + {t^2} - t + 1 = f(t)$

$f\left( t \right) = {t^8} + ({t^2} - {t^5}) + 1 - t$

${t^8} > 0;1 - t > 0,;{t^2} - {t^{5}} = {t^3}\left( {1-t} \right) > 0$ .

$\Rightarrow f(t) > 0$ .

Với $t > 1$ thì $f\left( t \right) = {t^5}({t^3}-1) + t\left( {t - 1} \right) + 1 > 0$

Vậy $f(t) > 0 ,∀\,t ≥ 0$ .

Hay $x^4- \sqrt {{x^5}} + x - \sqrt x + 1 > 0, ∀x ≥ 0$ (đpcm)

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác