Dạng 2: Tính tích phân của những phân thức có bậc tử và bậc mẫu chênh lệch lớn.

Dạng 2: Tính tích phân của những phân thức có bậc tử và bậc mẫu chênh lệch lớn.

Bài làm:

Bản chất của phương pháp là tách một tích phân có khoảng cách giữa bậc tử và bậc mấu rất lớn thành 2 tích phân có bậc của tử và mẫu nhỏ hơn.

Bài tập 1: Tính $I=\int_{1}^{2}\frac{1-x^{5}}{x(1+x^{5})}dx$ .

Bài giải:

$I=\int_{1}^{2}\frac{1-x^{5}}{x(1+x^{5})}dx$

$I=\frac{1}{5}\int_{1}^{2}\frac{1-x^{5}}{x^{5}(1+x^{5})}d(x^{5})$

$=\frac{1}{5}\int_{1}^{2} \left ( \frac{1}{x^{5}}-\frac{2}{1+x^{5}} \right )d(x^{5})$

$=ln2-\frac{2}{5}ln\frac{33}{2}$

Bài tập 2: Tính $I=\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}(1+x^{2})}d(x)$ .

Bài giải:

Ta có:

$I=\int_{1}^{2} \frac{1}{x^{3}(1+x^{2})}d(x)$

$=\int_{1}^{2} \frac{(1+x^{2})-x^{2}}{x^{3}(1+x^{2})}d(x)$

$=\int_{1}^{2} \left [ \frac{1}{x^{3}}-\frac{1}{x(1+x^{2})} \right ]dx$

$=\int_{1}^{2} \left [ \frac{1}{x^{3}}-\frac{(1+x^{2})-x^{2}}{x(1+x^{2})} \right ]$ dx

$=\int_{1}^{2} \left ( \frac{1}{3}-\frac{1}{x}+\frac{x}{1+x^{2}} \right )dx$

$=\int_{1}^{2} \left ( \frac{1}{x^{3}} -\frac{1}{x}\right )dx+\int_{1}^{2}\frac{1}{2}\frac{d(1+x^{2})}{1+x^{2}}$

$=-\frac{1}{2x^{2}}-lnx+\frac{1}{2}ln(1+x^{2})$

$=\frac{3}{8}-ln2+\frac{1}{2}ln\frac{5}{2}$ .

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác