Đáp án câu 5 đề 5 kiểm tra học kì 2 Toán 9

1 Đánh giá

Câu 5(1 điểm): Cho a, b, c là độ dài 3 cạnh của một tam giác biết: a + b – c > 0; b + c – a > 0; c + a – b > 0.

Chứng minh: $\frac{1}{a + b -c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$

Bài làm:

Với x > 0, y > 0 ta có:

$(x - y)^{2} \geq 0$

$\Leftrightarrow (x + y)^{2} \geq 4xy$

$\Leftrightarrow \frac{x + y}{xy} \geq \frac{4}{x + y}$

$\Leftrightarrow \frac{1}{x} + \frac{1}{y} \geq \frac{4}{x + y}$ (*)

Dấu "=" xảy ra khi x = y

Áp dụng bất đẳng thức (*) ta được:

$\frac{1}{a + b - c} + \frac{1}{b + c - a} \geq \frac{4}{a + b - c + b + c - a} = \frac{4}{2b} = \frac{2}{b}$ (1)

Tương tự ta có: $\frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{b + c - a} \geq \frac{2}{c}$ (2)

$\frac{1}{c + a - b} + \frac{1}{a + b - c} \geq \frac{2}{a}$ (3)

Từ (1), (2) và (3) ta có:

$\frac{1}{a + b -c} + \frac{1}{b + c - a} + \frac{1}{c + a - b} \geq \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c}$ . Dấu "=" xảy ra khi a = b = c. $\Leftrightarrow a = b = c$

1 lượt xem

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Toán 9 tập 2