Giải câu 5 đề 6 ôn thi toán lớp 9 lên 10

Bài 5: (1,0 điểm)

Cho a, b, c > 0 và a + b + c = 3. Chứng minh rằng:

$a^{5}+b^{5}+c^{5}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 6$

Bài làm:

Áp dụng bất đẳng thức Co- si, ta được:

$a^{5}+\frac{1}{a}\geq 2a^{2}$

$b^{5}+\frac{1}{b}\geq 2b^{2}$

$c^{5}+\frac{1}{c}\geq 2c^{2}$

$a^{5}+b^{5}+c^{5}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2(a^{2}+b^{2}+c^{2})$

Mặt khác:

$\left\{\begin{matrix}a^{2}+1\geq 2a& & \\ b^{2}+1\geq ab& & \\ c^{2}+1\geq 2c& & \end{matrix}\right.$

$a^{2}+b^{2}+c^{2}\geq 2(a+b+c)-3= 2.3-3 = 3$

$a^{5}+b^{5}+c^{5}+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\geq 2.3 =6$

Vậy ta được điều phải chứng minh.

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác