Lời giải bài 5 chuyên đề Vận dụng bất đẳng thức Côsi để tìm cực trị

Bài 5: Cho x , y ,z > 0 và x + y + z = 1

Tìm GTNN của $S=\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$ .

Bài làm:

Vì x + y + z = 1 => $S=( x + y + z )\frac{1}{x}+\frac{4}{y}+\frac{9}{z}$ .

<=> $S=1+4+9+(\frac{y}{x}+\frac{4x}{y})+(\frac{4z}{y}+\frac{9y}{z})+(\frac{9x}{z}+\frac{z}{x})$

Áp dụng bất đẳng thức Cô si cho 2 số dương $\frac{y}{x},\frac{4x}{y}$ ta có :

$\frac{y}{x}+\frac{4x}{y}\geq 2\sqrt{\frac{y}{x}.\frac{4x}{y}}=4$ (1)

Tương tự với 2 số dương $\frac{4z}{y},\frac{9y}{z}$ ta có:

$\frac{4z}{y}+\frac{9y}{z}\geq 2\sqrt{\frac{4z}{y}.\frac{9y}{z}}=12$ (2)

Tương tự với 2 số dương $\frac{9x}{z},\frac{z}{x}$ ta có :

$\frac{9x}{z}+\frac{z}{x}\geq 2\sqrt{\frac{9x}{z}+\frac{z}{x}}=6$ (3)

Từ (1) , (2) và (3) => $S\geq 1+4+9+4+12+6=36$

Dấu " = " xảy ra <=> $\frac{y}{x}=\frac{4x}{y},\frac{4z}{y}=\frac{9y}{z},\frac{9x}{z}=\frac{z}{x},x+ y +z=1$

<=> $y=2x,z=3x,x+y+z=1$

<=> $y=\frac{1}{3},x=\frac{1}{6},z=\frac{1}{2}$

Vậy Min S = 36 <=> $y=\frac{1}{3},x=\frac{1}{6},z=\frac{1}{2}$ .

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác