Giải bài 16 Ôn tập cuối năm

1 Đánh giá

Bài 16: trang 181 sgk toán Đại số và giải tích 11

Giải các phương trình

a) $f’(x) = g(x)$ với $f(x) = \sin^3 2x$ và $g(x) = 4\cos2x - 5\sin4x$

b) $f’(x) = 0$ với $f(x) = 20\cos3x + 12\cos5x - 15\cos4x$

Bài làm:

a) Ta có: $f(x) = \sin^3 2x$

$⇒ f’(x) = 3\sin^2\,2x (\sin\,2x)’ = 6\sin^2\,2x \cos\,2x$

Do đó:

$f'(x) = g(x) \Leftrightarrow 6sin^2\,2x\cos\,2x = 4\cos\,2x - 5\sin\,4x$

$\Leftrightarrow 6sin^2\,2x\cos\,2x = 4\cos\,2x - 10\sin\,2x\cos\,2x$

$\Leftrightarrow 6sin^2\,2x\cos\,2x - 4\cos\,2x + 10\sin\,2x\cos\,2x =0$

$\Leftrightarrow 2\cos\,2x(3\sin ^2\,2x + 5\sin\,2x - 2) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{\cos 2x = 0\,(1) \hfill \cr 3{\sin ^2}2x + 5\sin 2x - 2 = 0\,(2) \hfill \cr} \right.$

Giải phương trình (1) ta được:

$2x = {\pi \over 2} + k\pi (k \in \mathbb Z) \Leftrightarrow x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} (k \in \mathbb Z)$

Giải phương trình (2) ta được:

$\left[ \matrix{sin 2x = -2 (loại) \hfill \cr \sin 2x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.$

$\sin 2x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{2x = \arcsin ({1 \over 3}) + k2\pi \hfill \cr 2x = \pi - \arcsin ({1 \over 3}) + k2\pi \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 3}) + {k\pi } \hfill \cr x = {\pi \over 2} - {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 2}) + {k\pi } \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z$

Vậy phương trình có nghiệm là:

$\left[ \matrix{x = {\pi \over 4} + {{k\pi } \over 2} \hfill \cr x = {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 3}) + {k\pi } \hfill \cr x = {\pi \over 2} - {1 \over 2}\arcsin ({1 \over 2}) + {k\pi } \hfill \cr} \right.;k \in \mathbb Z$

b) Ta có: $f’(x) = -60sin \,3x - 60 sin \,5x + 60 sin\,4x$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow - \sin \,3x - \sin\, 5x + \sin \,4x = 0$

$\Leftrightarrow \sin \,5x + \sin \,3x - \sin\, 4x=0$

$\Leftrightarrow 2\sin \,4x{\mathop{\rm cos\,x}\nolimits} - sin\,4x = 0$

$\Leftrightarrow sin\,4x(2cos\,x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{\sin \,4x = 0 \hfill \cr {\mathop{\rm cos\,x}\nolimits} = {1 \over 2} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{4x = k\pi \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = k{\pi \over 4} \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z$

Vậy phương trình có nghiệm là $\left[ \matrix{x = k{\pi \over 4} \hfill \cr x = \pm {\pi \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.;k \in\mathbb Z$

9 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Đại số và giải tích lớp 11