Giải câu 3 bài 3: Hàm số liên tục

Câu 3: trang 141 sgk toán Đại số và giải tích 11

Cho hàm số $f(x) = \left\{\begin{matrix} 3x + 2; & x<-1\\ x^{2}-1 & x \geq -1 \end{matrix}\right.$

a) Vẽ đồ thị của hàm số $y = f(x)$ . Từ đó nêu nhận xét về tính liên tục của hàm số trên tập xác định của nó.

b) Khẳng định nhận xét trên bằng một chứng minh.

Bài làm:

a. Đồ thị hàm số $y = f(x)$ là một đường không liền nét mà bị đứt quãng tại $x_0= -1$.

Vậy hàm số đã cho liên tục trên khoảng $(-∞; -1)$ và $(- 1; +∞)$.

Nếu $x < -1$ : $f(x) = 3x + 2$ liên tục trên $(-∞; -1)$ (vì đây là hàm đa thức).
Nếu $x> -1$ : $f(x) = x^2- 1$ liên tục trên $(-1; +∞)$ (vì đây là hàm đa thức).
Tại $x = -1$ ;

Ta có:

$\underset{x\rightarrow -1^{-} }{lim }f(x) = \underset{x\rightarrow -1^{-} }{lim }(3x+2)=3.(-1)+2=1$

$\underset{x\rightarrow -1^{+} }{lim }f(x) = \underset{x\rightarrow -1^{+} }{lim }(x^2-1)=1^2-1=0$

Vì $\underset{x\rightarrow -1^{-}}{lim} f(x) \neq \underset{x\rightarrow -1^{+}}{lim} f(x)$

Vậy không tồn tại $\underset{x\rightarrow -1}{lim} f(x)$ .

Vậy hàm số gián đoạn tại $x_0= -1$ .

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác