Giải câu 4 bài 1: Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng

Câu 4: Trang 53 - sgk hình học 11

Cho bốn điểm A, B, C và D không đồng phẳng. Gọi GA, GB, GC, GD lần lượt là trọng tâm của các tam giác BCD, CDA, ADB, ACB. Chứng minh rằng AG_A, BG_B, CG_C, DG_D đồng qui.

Bài làm:

Gọi M là trung điểm của CD.

Ta có . Gọi \( I = A{G_{A}}^{}\) \( \cap B{G_{B}}^{}\).

Dễ thấy = \( \frac{M{G_{B}}^{}}{MA} = \frac{1}{3}\)

=> \({G_{B}}^{}\) // AB và \( \frac{IA}{I{G_{A}}^{}}\) = \( \frac{AB}{{G_{A}{G_{B}}^{}}^{}}\) = 3

Tương tự, ta có cũng cắt \(A{G_{A}}^{}\) tại I', I''

từ đó suy ra = 3, \( \frac{I''A}{I''{G_{A}}^{}}\) = 3

=> I ≡ I' ≡ I''

=> đồng quy (đpcm)