Giải Câu 5 Bài 3: Đường thẳng vuông góc với mặt phẳng

Câu 5: Trang 105 - SGK Hình học 11

Trên mặt phẳng cho hình bình hành \(ABCD\). Gọi \(O\) là giao điểm của \(AC\) và \(BD\). \(S\) là một điểm nằm ngoài mặt phẳng sao cho \(SA = SC, SB = SD\). Chứng minh rằng:

a) ;

b) Nếu trong mặt phẳng kẻ \(SH\) vuông góc với \(AB\) tại \(H\) thì \(AB\) vuông góc mặt phẳng \((SOH)\).

Bài làm:

a) Theo giả thiết: nên tam giác \(SAC\) cân tại \(S\).

lại có: là trung điểm của \(AC\) nên \(SO\) là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác cân nên

Chứng minh tương tự với , $O$ là trung điểm của $BD$ ta có:

Ta có:

$$\left. \matrix{
SO \bot BD \hfill \cr
SO \bot AC \hfill \cr
BD \cap AC = {\rm{\{ O\} }} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow SO \bot (ABCD)$$

Hay (đpcm)

b) (1)

Mà (gt) (2)

Từ (1) và (2) ta có;

$$\left. \matrix{
SO \bot AB \hfill \cr
SH \bot AB \hfill \cr
SO \cap SH = {\rm{\{ S\} }} \hfill \cr} \right\} \Rightarrow AB \bot (SHO)$$