Đáp án câu 5 đề 8 kiểm tra học kì 2 Toán 9

1 Đánh giá

Câu 5(1 điểm): Cho a, b, c là các số thực dương thỏa mãn: ab + bc + ca = 3abc. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:

K = $\frac{a^{2}}{c(c^{2}+a^{2})} + \frac{b^{2}}{a(a^{2}+b^{2})} + \frac{c^{2}}{b(b^{2}+c^{2})}$

Bài làm:

Xét: $\frac{a^{2}}{c(c^{2}+a^{2})} = \frac{a^{2} + c^{2} - c^{2}}{c(c^{2}+a^{2})} = \frac{1}{c} - \frac{c}{(c^{2}+a^{2})} \geq \frac{1}{c} - \frac{c}{2\sqrt{c^{2}a^{2}}} = \frac{1}{c} - \frac{1}{2a}$

$\Rightarrow \frac{a^{2}}{c(c^{2}+a^{2})}\geq \frac{1}{c} - \frac{1}{2a}$

Tương tự ta có:

$\frac{b^{2}}{a(a^{2}+b^{2})}\geq \frac{1}{a} - \frac{1}{2b}$

$\frac{c^{2}}{b(b^{2}+c^{2})}\geq \frac{1}{b} - \frac{1}{2c}$

Do đó:

K $\geq \frac{1}{c} - \frac{1}{2a} + \frac{1}{a} - \frac{1}{2b} + \frac{1}{b} - \frac{1}{2c}$

$\Leftrightarrow K \geq \frac{1}{2}\left ( \frac{1}{a} +\frac{1}{b} + \frac{1}{c}\right ) = \frac{ab + bc + ca}{2abc} = \frac{3}{2}$ ( do ab + bc + ca = 3abc)

Vậy Min K = $\frac{3}{2}$ khi a = b = c = 1.

1 lượt xem

Cập nhật: 08/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Toán 9 tập 2