Giải bài 20 Ôn tập cuối năm

1 Đánh giá

Bài 20: trang 181 sgk toán Đại số và giải tích 11

Cho các hàm số:

$f(x) =x^3+ bx^2+ cx + d$ (C)

$g(x) = x^2– 3x + 1$

với các số $b, c, d$ tìm được ở bài 19, hãy:

a) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) tại điểm có hoành độ $x = -1$

b) Giải phương trình $f’(sinx) = 0$

c) Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f''(\sin 5x) + 1} \over {g'(\sin 3x) + 3}}$

Bài làm:

Ở bài 19 ta có: $f(x) = {x^3} - {1 \over {2}}{x^2} - {3 \over 2}(C)$

$\Rightarrow f'(x)=3x^2-x$

a. Ta có:

${x_0} = - 1 \Rightarrow {y_0}={( - 1)^3} - {1 \over 2}{( - 1)^2} - {3 \over 2} = - 3$

$f'(x) = 3{x^2} - x \Rightarrow f'(-1) = 3.(-1)^2 -(- 1) = 4$

Vậy phương trình tiếp tuyến của (C) tại $x_0= -1$ là:

$y + 3 = 4(x + 1) ⇔ y = 4x + 1$

b. Ta có:

$f'(\sin\, x) = 0$

$\Leftrightarrow 3{\sin ^2}\,x - \sin\,x = 0$

$\Leftrightarrow \sin \,x(3\sin \,x - 1) = 0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{\sin \,x = 0 \hfill \cr \sin \,x = {1 \over 3} \hfill \cr} \right.$

Ta có:

$\sin x = 0 \Leftrightarrow x = k\pi (k \in \mathbb Z)$
$\sin x = {1 \over 3} \Leftrightarrow \left[ \matrix{x = \arcsin {1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr x = \pi - {\rm{arcsin}}{1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.$

Vậy phương trình có nghiệm là: $\left[ \matrix{x = k\pi \hfill \cr x = \arcsin {1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr x = \pi - {\rm{arcsin}}{1 \over 3} + k2\pi \hfill \cr} \right.; k \in \mathbb Z$

c) Tìm $\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f''(\sin\, 5x) + 1} \over {g'(\sin \,3x) + 3}}$

Ta có:

$f’'(x) = 6x – 1 ⇒ f’’ (sin \,5x) = 6sin\,5x – 1$

$g’(x) = 2x – 3 ⇒ g’(sin\, 3x) = 2.sin \,3x – 3$

$\Rightarrow {{f''(\sin\, 5x) + 1} \over {g'(\sin\, 3x) + 3}} = {{6\sin \,5x} \over {2\sin \,3x}} = 5{{\sin\, 5x} \over {5x}}{{3x} \over {\sin \,3x}}$

$\Rightarrow \mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{f''(\sin 5x) + 1} \over {g'(\sin 3x) + 3}}= 5\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} {{\sin 5x} \over {5x}}\lim {{3x} \over {\sin 3x}} = 5.1.1 = 5$

7 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Đại số và giải tích lớp 11