Giải câu 6 bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

1 Đánh giá

Câu 6: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng các hàm số sau có đạo hàm không phụ thuộc $x$ :

a) $\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x$

b) ${\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) + {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )+{\cos ^2} \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x$

Bài làm:

a) $\sin^6x + \cos^6x + 3\sin^2x.\cos^2x$

Ta có:

$(3\sin^2x.\cos^2x)'=3.(sin^2x)'.cos^2x+3.sin^2x(cos^2x)'$

$=3.cos^2x.2.sin x (sin x)'+3.sin^2x.2.cos x.(cosx)'$

$=6.cos^2x.sin x.cos x+6.sin^2x.cos x.(-sin x)$

$=6.cos^3x.sin x-6.sin^3x.cos x$

$y' = 6{\sin ^5}x.\cos x - 6{\cos ^5}x.\sin x + 6\sin x.\cos^3x - 6{\sin ^3}x.\cos x$

$= 6{\sin ^3}x.\cos x(\sin^2 x - 1) + 6\sin x.\cos^3 x(1 - {\cos ^2}x)$

$= 6{\sin ^3}x.\cos x.cos^2x + 6\sin x.\cos^3 x.sin^2x$

$= - 6{\sin ^3}x.\cos^3 x + 6{\sin ^3}x.\cos^3 x = 0$ .

Vậy $y' = 0$ với mọi \(x\),tức là \(y'\)không phụ thuộc vào \(x\).

b) ${\cos ^2}\left ( \frac{\pi }{3}-x \right )+ {\cos ^2} \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ) + {\cos ^2}\left ( \frac{2\pi }{3}-x \right )+{\cos ^2} \left ( \frac{2\pi }{3}+x \right )-2\sin^2x$

$y' = 2cos \left ( \frac{\pi }{3}-x \right ).sin \left ( \frac{\pi }{3}-x \right )$

$-2cos \left ( \frac{\pi }{3}+x \right ).sin \left ( \frac{\pi }{3}+x \right )$

$+2cos \left ( \frac{2 \pi }{3}-x \right ).sin \left ( \frac{2 \pi }{3}-x \right )$

$-2cos \left ( \frac{2 \pi }{3}+x \right ).sin \left ( \frac{2 \pi }{3}+x \right )-4sin\,xcos\,x$

Áp dụng công thức tính đạo hàm của hàm số hợp ta được

$y' =\sin \left ( \frac{2\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \frac{2\pi }{3}+2x \right )+ \sin \left ( \frac{4\pi }{3}-2x \right ) - \sin \left ( \frac{4\pi }{3}+2x \right )- 2\sin 2x$

$= -2\cos \frac{2\pi }{3}.\sin\,2x - 2\cos \frac{4\pi }{3}. \sin 2x - 2\sin 2x$

$= \sin 2x + \sin 2x - 2\sin 2x$

$=sin\,2x(1+1-2)=0$

Vậy $y' = 0$ với mọi \(x\), do đó \(y'\) không phụ thuộc vào \(x\).

5 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Đại số và giải tích lớp 11