Giải câu 2 bài 1: Phương pháp quy nạp toán học

Câu 2: Trang 82 - sgk đại số và giải tích 11

Chứng minh rằng với n ε N^* ta luôn có:

a) n³ + 3n² + 5n chia hết cho 3;

b) 4ⁿ + 15n - 1 chia hết cho 9;

c) n³ + 11n chia hết cho 6.

Bài làm:

a) Đặt S_n = n³ + 3n² + 5n

Với n = 1 thì S₁ = 9 chia hết cho 3

Giả sử với n = k ≥ 1, có S_k = (k³ + 3k² + 5k) 3

Xét với n = k + 1

S_k+1 = (k + 1)³ + 3(k + 1)² + 5(k + 1)

= k³ + 3k² + 3k + 1 + 3k² + 6k + 3 + 5k + 5

= k³ + 3k² + 5k + 3k² + 9k + 9

hay S_k+1 = S_k + 3(k² + 3k + 3)

mà S_k 3, 3(k² + 3k + 3) 3 nên S_k+1 3.

Vậy (n³ + 3n² + 5n) 3 với mọi n ε N^{* .}

b) Đặt S_n = 4ⁿ + 15n - 1

Với n = 1, thì S₁ 9

Giả sử với n = k ≥ 1 có S_k= 4^k + 15k - 1 chia hết cho 9.

Xét với n = k + 1

S_k+1 = 4^{k + 1} + 15(k + 1) – 1

= 4(4^k + 15k – 1) – 45k + 18 = 4S_k – 9(5k – 2)

mà Sk 9 và 9(5k - 2) 9 => S_k+1 9

Vậy (4ⁿ + 15n - 1) 9 với mọi n ε N^*

c) Đặt S_n = n³ + 11n

Với n = 1 thì S₁ 6

Giả sử với n = k ≥ 1 có S_k = k³ + 11k 6

Xét với n = k + 1 ta có:

S_k+1 = (k + 1)3 + 11(k + 1) = k³ + 3k + 3k + 1 + 11k + 11

= ( k³ + 11k) + 3(k² + k + 4) = S_k + 3(k² + k + 4)

mà S_k 6, mặt khác k² + k + 4 = k(k + 1) + 1 là số chẵn nên 3(k² + k + 4) 6 => S_k+1 6

Vậy n³ + 11n chia hết cho 6 với mọi n ε N^{* .}