Giải Câu 2 Bài 5: Khoảng cách

Câu 2: Trang 119 - SGK Hình học 11

Cho tứ diện có \(SA\) vuông góc với mặt phẳng \((ABC)\). Gọi \(H, K\) lần lượt là trực tâm của tam giác \(ABC\) và \(SBC\).

a) Chứng minh ba đường thẳng đồng quy.

b) Chứng minh rằng vuông góc với mặt phẳng \((BHK)\) và \(HK\) vuông góc với mặt phẳng \((SBC)\).

c) Xác định đường vuông góc chung của và \(SA\).

Bài làm:

a) Chứng minh đồng qui

Trong , gọi \(E = AH ∩ BC\).

là trực tâm của tam giác \(ABC\) nên \(AE\bot BC\) (1)

(2)

Từ (1) và (2) suy ra \(\Rightarrow BC ⊥ SE\).

Vì là trực tâm của tam giác \(SBC(gt)\Rightarrow SE \) đi qua \(\Rightarrow AH, BC, SK\) đồng quy tại \(E\).

b) Chứng minh

• Vì H là trực tâm tam giác ABC nên . (3)

Mà là hình chiếu vuông góc của $SA$ lên $(ABC)$ (do $SA\perp (ABC)-gt$)

=> (định lý ba đường vuông góc) (4)

Từ (3)(4) suy ra: .

• Ta có: =>$(BHK)\perp (SBC)$ (5)

Vì: (6)

Từ (5) (6) và => $HK\perp (SBC)$

c) Xác định đường vuông góc chung của

Ta có: (tính chất trực tâm H của tam giác ABC)

mặt khác:

là đường vuông góc chung của \(BC\) và \(SA\).