Giải câu 7 bài 3: Đạo hàm của hàm số lượng giác

1 Đánh giá

Câu 7: trang 169 sgk toán Đại số và giải tích 11

Giải phương trình $f'(x) = 0$ , biết rằng:

a) $f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x$

b) $f(x) = 1 - \sin(π + x) + 2\cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )$

Bài làm:

a) $f(x) = 3\cos x + 4\sin x + 5x$

$f'(x) = - 3\sin x + 4\cos x + 5$ .

$\Rightarrow f'(x) = 0 \Leftrightarrow - 3\sin x + 4\cos x + 5 = 0$

$\Leftrightarrow3 \sin x - 4\cos x = 5$

$\Leftrightarrow \frac{3}{5}\sin x - \frac{4}{5}\ cos x = 1$ .(*)

Đặt $\cos \alpha = \frac{3}{5},\left(\alpha ∈ \left ( 0;\frac{\pi }{2} \right )\right ) \Rightarrow \sin \alpha = \frac{4}{5}$

Ta có:

(*) $\Leftrightarrow \sin x.\cos \alpha - \cos x.\sin \alpha = 1$

$\Leftrightarrow \sin(x - \alpha ) = 1$

$\Leftrightarrow x - \alpha = \frac{\pi }{2} + k2π$

$\Leftrightarrow x = \alpha + \frac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z$ .

Vậy $x = \alpha + \frac{\pi }{2} + k2π, k ∈ \mathbb Z$

b) $f(x) = 1 - \sin(π + x) + 2\cos \left ( \frac{2\pi +x}{2} \right )$

$f'(x) = - \cos(π + x) - \sin \left (\pi + \frac{x}{2} \right ) = \cos x + \sin \frac{x }{2}$

$f'(x) = 0 \Leftrightarrow \cos x + \sin \frac{x }{2} = 0$

$\Leftrightarrow \sin \frac{x }{2} = - cosx$

$\Leftrightarrow sin \frac{x }{2} = sin \left (x-\frac{\pi}{2}\right )$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{\frac{x }{2}= x-\frac{\pi}{2}+ k2π \hfill \cr \frac{x }{2} = π - x+\frac{\pi}{2}+ k2π \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x = π - k4π \hfill \cr x = π + k \frac{4\pi }{3} \hfill \cr} \right.(k ∈ \mathbb Z)$

Vậy $x = π - k4π$ hoặc \(x = π + k \frac{4\pi }{3}(k ∈ \mathbb Z)\)

8 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Đại số và giải tích lớp 11