Giải câu 40 bài: Luyện tập sgk Toán đại 9 tập 2 Trang 57

1 Đánh giá

Câu 40: trang 57 sgk toán lớp 9 tập 2

Giải phương trình bằng cách đặt ẩn phụ:

a) $3{({x^2} + x)^2}-2({x^2} + x)-1 = 0$ ;

b) ${({x^2}-4x + 2)^2} + {x^2}-4x-4 = 0$ ;

c) $x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7$ ;

d) $\frac{x}{x+ 1} – 10 . \frac{x+1}{x}= 3$

Hướng dẫn: a) Đặt $t = {x^2} + x$ , ta có phương trình $3{t^2}-2t - 1 = 0$. Giải phương trình này, ta tìm được hai giá trị của $t$. Thay mỗi giá trị của $t$ vừa tìm được vào đằng thức $t = {x^2} + x$ , ta được một phương trình của ẩn $x$. Giải mỗi phương trình này sẽ tìm được giá trị của $x$.

d) Đặt $\frac{x+1}{x} = t$ hoặc $\frac{x}{x+ 1} = t$

Bài làm:

a) $3{({x^2} + x)^2}-2({x^2} + x)-1 = 0$

Đặt $t = {x^2} + x$

Phương trình đã cho trở thành:

$3{t^2}-2t-1 = 0$ (1)

Ta thấy $a+b+c=3+(-2)+(-1)=0$

Vậy phương trình(1) có hai nghiệm là ${t_1} = 1,{t_2} = \frac{c}{a}=- {1 \over 3}$

Với ${t_1} = 1$

Ta có: ${x^2} + x = 1$

$\Leftrightarrow {x^2} + x-1 = 0$

$\Delta =4 + 1=5$

$\Rightarrow \sqrt \Delta = \sqrt 5$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{{x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr {x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2} \hfill \cr} \right.$

Với ${t_2}= -\frac{1}{3}$

$\Leftrightarrow {x^2} + x = - {1 \over 3}$ (*)

$\Leftrightarrow 3{x^2} + 3x{\rm{ + }}1{\rm{ = }}0$

$\Delta = 9 – 4 . 3 . 1 = -3 < 0$

Vậy phương trình (*)vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm phân biệt ${x_1} = {{ - 1 + \sqrt 5 } \over 2},{x_2} = {{ - 1 - \sqrt 5 } \over 2}$

b) ${({x^2}-4x + 2)^2} + {x^2}-4x-4 = 0$

Đặt $t = {x^2}-4x + 2$

Ta có phương trình đã cho trở thành ${t^2} + t-6 = 0$

$\Delta =1^{2}-4.1.(-6)=25$

$\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{25}=5$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=\frac{-1+5}{2} \hfill \cr t_{2}=\frac{-1-5}{2} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=2 \hfill \cr t_{2}=-3 \hfill \cr} \right.$

Với ${t_1}= 2$ ta có: ${x^2}-4x + 2 = 2$

$\Leftrightarrow {x^2}-4x = 0$

$\Leftrightarrow x(x-4)=0$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{x_{1}=0 \hfill \cr x_{2}=4 \hfill \cr} \right.$

Với ${t_2}= -3$ ta có: ${x^2}-4x + 2 = - 3\Leftrightarrow {x^2}-4x + 5 = 0$.

$\Delta= {(-4)}^2 – 4 . 1 . 5 = 16 – 20 = -4 < 0$

Phương trình này vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ${x_1} = 0, {x_2}= 4$ .

c) $x - \sqrt{x} = 5\sqrt{x} + 7$ . Điều kiện: $x ≥ 0$

Đặt $t = \sqrt{x}, t ≥ 0$

Phương trình đã cho trở thành:

$t^{2} -t= 5t + 7$

$\Leftrightarrow t^{2}-t-5t-7=0$

$\Leftrightarrow t^{2}-6t-7=0$

Ta thấy $a-b+c=1-(-6)+(-7)=0$

Suy ra phương trình có hai nghiệm là $t_{1}=-1(loại); t_{2}=\frac{c}{a}=-\frac{-7}{1}=7(nhận)$

Với $t = 7$ , ta có: $\sqrt{x} = 7$

$\Rightarrow x = 7^{2}=49$ .

Vậy phương trình đã cho có một nghiệm duy nhất là $x = 49$

d) $\frac{x}{x+ 1}– 10 . \frac{x+1}{x} = 3$ . Điều kiện: $x ≠ -1, x ≠ 0$

Đặt $\frac{x}{x+ 1} = t \Rightarrow \frac{x+1}{x}=\frac{1}{t}$ .

Vậy phương trình đã cho trở thành

$t - \frac{10}{t} – 3 = 0$

$\Leftrightarrow {t^2}-3t-10 = 0$

$\Delta = (-3)^{2}-4.1.(-10)=49$

$\Rightarrow \sqrt{\Delta }=\sqrt{49}=7$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=\frac{-(-3)+7}{2} \hfill \cr t_{2}=\frac{-(-3)-7}{2} \hfill \cr} \right.$

$\Leftrightarrow \left[ \matrix{t_{1}=5 \hfill \cr t_{2}=-2 \hfill \cr} \right.$

Với ${t_1}= 5$ , ta có $\frac{x}{x+ 1} = 5$

$\Leftrightarrow x = 5x + 5$

$\Leftrightarrow 4x + 5=0$

$\Leftrightarrow x = -\frac{5}{4}$

Với ${t_2} = -2$ , ta có $\frac{x}{x+ 1}= -2$

$\Leftrightarrow x = -2x – 2$

$\Leftrightarrow x = -\frac{2}{3}$ .

Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm: ${x_1}= -\frac{5}{4}$ , ${x_2} =-\frac{2}{3}$

10 lượt xem

Cập nhật: 07/09/2021

Xem thêm bài viết khác

Xem thêm Toán 9 tập 2